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Dijkstra 法や A* 探索なんかを格子に適用して最短経路を求めるアルゴリズムでは、最近接の 4 点の接続を考慮する場合で縦横の移動のみ、次近接の 8 点を考慮しても縦横斜め ±45° の移動しか考慮されなくて、任意角度で移動できる場合の最短経路は (そのままでは) 求められない。これをなんとかする (賢い人がなんとかした) 話。正確には最短経路アルゴリズムとは直交している話題だけどまあ。例によって専門家でも何でもないので、正確さは期待するな。

アプローチとしては、離散的な空間で定義されるアルゴリズムを一旦連続な空間に持ちこんで回転対称性を回復させ、そのあと再度離散化する。

dynamic programming で格子上での最短経路を求める場合、大ざっぱに次のような反復をする。たぶんグラフ理論における Bellmann-Ford とかいうアルゴリズム (以降 出発地点から (x, y) までの最短距離を d[x, y] とする) 。

while (d[] changed) {
 for each (x, y) {
 d[x, y] = 1 + min(
 d[x - 1, y], d[x + 1, y],
 d[x, y - 1], d[x, y + 1],
 )
 }
}

各格子点からの最短距離が分かれば、出発点から順次一番値の小さい近傍を辿っていくことで最短経路が得られる。

さて 簡単のため、不動点方程式 (反復しても値が変わらなくなったときに満たしている方程式) を考える。

\[ \block{align*}{ d_{i, j} &= \min( d_{i - 1, j}, d_{i + 1, j}, d_{i, j - 1}, d_{i, j + 1} ) + 1 } \]

この方程式を一旦連続化して、回転対称性が成り立つようにしてみる。

\[ \block{align*}{ d(\vec{x}) &= \min_{|\vec{n}| = 1} \bigl[ d( \vec{x} + \epsilon \vec{n} ) \bigr] + \epsilon } \]

この式を変形していくと、

\[ \block{align*}{ d(\vec{x}) &= \min_{|\vec{n}| = 1} \bigl[ d(\vec{x}) + \epsilon \vec{n} \cdot \nabla d(\vec{x}) + O(\epsilon^2) \bigr] + \epsilon \\ &= d(\vec{x}) + \epsilon \min_{|\vec{n}| = 1} \bigl[ \vec{n} \cdot \nabla d(\vec{x}) \bigr] + \epsilon + O(\epsilon^2) \\ &= d(\vec{x}) - \epsilon \frac{\nabla d(\vec{x})}{|\nabla d(\vec{x})|} \cdot \nabla d(\vec{x}) + \epsilon + O(\epsilon^2) } \]
\[ \block{align*}{ \therefore \left| \nabla d(\vec{x}) \right| = 1 } \]

なんか偏微分方程式が求まった (というらしい) 。このような DP から派生する偏微分方程式は と呼ばれているようだ。

これを再度離散化して数値解を求めれば、ユークリッド空間での最短経路が求まるんじゃない? という期待に胸が膨らむ。

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しかし残念ながら、この方程式を単純に中央差分などで差分化して解こうとしても、まともに収束しない。この理由を考えてみる。

一般に境界条件が与えられたとき、多くの場合この方程式を完全に満たす解は存在しない。これは直感的には明らかで 、、いま最短距離フィールド \( d(\vec{x}) \) が求まったと仮定すると、ある点までの最短経路が複数ある場所が \( d(\vec{x}) \) の谷底で、微分不可能になっている。そこでこの方程式を解く場合には、微分不可能な面を許す 『22番のみ』 KEI/ SWIFT用 フロントサスペンションレフトのアーム一式のみ 45202-52R21 FIG416A スズキ純正部品、少し弱い条件の解を考える必要がある (弱解/粘性解) 。これは HJB 方程式に共通する特徴らしい。

そこで、風上差分のようなものを考える。結果を書いてしまうと、次のような差分化を行えばうまくいく ( モンスタースポーツ ノンアスベストクラッチセット[ワゴンRワイド MA61S/MB61S MT車] MonsterSportパーツ 送料無料(代引除く) 【4本セット】送料無料ブリヂストン アレンザ 001BRIDGESTONE ALENZA 001245/45R20 99V 新品 サマータイヤ Rouy-Tourin scheme, 1992. もちろんこれが唯一の方法ではない) 。

\[ \block{align*}{ \Bigl\{ \min\bigl( d_{i + 1, j} - d_{i, j}, d_{i - 1, j} - d_{i, j}, 0 \bigr) \Bigr\} ^ 2 + \Bigl\{ \min\bigl( d_{i, j + 1} - d_{i, j}, d_{i, j - 1} - d_{i, j}, 0 \bigr) \Bigr\} ^ 2 = 1 } \]

素朴に考えると \( \min( \cdots, 0) \) の 0 は必要なさそうに思えるのだけど、どうもこれが重要らしくて 26日1時59分まで【エントリーポイント10倍】 サマータイヤ 4本セット ブリヂストン REGNO GR-X レグノ GR-X2 235/45R17インチ 激安販売 aA インプレッサ WRX GDB ランエボ、これがないと正しい値に収束しない。このような離散化スキームは弱解で議論できるようなのだけれど、私は理解していない (本当はここが一番キモなんだろうなあ) 。

さて、この方程式は \( d_{i, j} \) について 1 or 2 次式なので、 \( d_{i, j} \) について解いてしまい、 Gauss-Seidel 的に反復する。 \( \min, \max \) をごにょごにょして整理すると、解は常に 1 つ存在することが分かって、プログラムは次のようにそこそこシンプルな形になる。

while (d[] changed) {
 for each (x, y) {
 fx = min(d[x - 1, y], d[x + 1, y])
 fy = min(d[x, y - 1], d[x, y - 1])
 if abs(fx - fy) < 1 {
 d[x, y] = (fx + fy + sqrt(2 - (fx - fy) ** 2)) / 2
 }
 else {
 d[x, y] = 1 + min(fx, fy)
 }
 }
}

風上差分のおかげで情報が一方向に伝わるため、収束は速い (たぶん最悪でも有限回 O(格子数^2) で収束。嘘かもしれないので、正確なところを知りたい方は論文参照) 。

備考

上のプログラムはかなり素朴なものだけれど アップデートを Dijkstra 的に効率良く行うことも可能 (Fast Marching Method, J. A. Sethian, 1996) 。

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02-05 Ram 1500 2500 3500 WS Tail Lamps Headlights Fog Lights High STop Lamp LED
カテゴリヘッドライト
状態新品
メーカーDodge
車種Ram 1500
発送詳細送料一律 1000円(※北海道、沖縄、離島は省く)
商品詳細輸入商品の為、英語表記となります。
Condition: New
Brand: Venom Inc.
[Headlight] High Beam Bulb: H1 Bulbs Included
Headlight Style: Halo Projectors
[Headlight] Halo Type: Crystal Sapphire
Manufacturer Part Number: OEM#B0902H_2002_2003_2004_2005_A9381
[Fog Light] Wiring: [Fog Light] Wiring
Interchange Part Number: 55077120AF/120AG/55077347AF/55077474AE/5072594AD
[Fog Light] Switch: [Fog Light] Switch
Other Part Number: CH2503135/CH2503161/CH2800147/CH2593643
[Fog Light] Bulbs: [Fog Light] Bulbs
Placement on Vehicle: Left, Right, Front, Rear
[Headlight] Side: Driver&Passenger Side Provided
Warranty: 60 Days
[Tail Light] Brake: Built-In LED
Fitment Type: Direct Replacement
[Tail Light] Dashboard Light: Error-Free
Lens Color: Clear, Smoke
[Tail Light] Parking: Built-In Neon Tube
Housing Color: Black, Chrome
[Tail Light] Reverse: Re-use Original 3157 Bulbs
[Headlight] Low Beam Bulb: H1 Bulbs Included
[Tail Light] Side: Driver & Passenger Included
[Headlight] DOT & SAE: Approved
[Tail Light] Signal: Built-in LED
[Headlight] LED Brand: Nichia - Made In Japan
※以下の注意事項をご理解頂いた上で、ご入札下さい※

■海外輸入品の為、NC,NRでお願い致します。
■フィッテングや車検対応の有無については、画像と説明文よりお客様の方にてご判断をお願いしております。
■USのカスタムパーツは国内の純正パーツを取り外した後、接続コネクタが必ずしも一致するとは限らず、加工が必要な場合がございます。
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■商品落札後のお客様のご都合によるキャンセルはお断りしておりますが、商品落札金額の30%の手数料をいただいた場合のみお受けいたします。
■他にもUSパーツを多数出品させて頂いておりますので、ご覧頂けたらと思います。
■USパーツの輸入代行も行っておりますので、ショップに掲載されていない商品でもお探しする事が可能です!!お気軽にお問い合わせ下さい。

、障害物を表すポリゴンの頂点数に対して多項式時間で収まる ( Wikipedia:Euclidean shortest path . リンク貼りつつ自分では読んでないけど、各二頂点間が直線で結ばれるかを調べてグラフを作るのは、素朴にやっても多項式時間に収まりそう) 。

じゃあ PDE で解くメリットは何よ、というと 移動にかかるコストが空間の各点で異なり 、最短経路がうにょーっと曲線になるような場合にも簡単に応用できるという点がある。

あと、空間の次元が高い場合に計算量的なメリットがあるかもしれないけれど… 235/40R18 FALKEN ファルケン ZIEX ZE914F ジークス ZE914F LeyBahn GBX レイバーン GBX サマータイヤホイール4本セット、これについてはよく分からない (ここの「分からない」は単に私が知らない/分からないの意) 。

むすび

問題を一旦連続化して対称性を回復し、再度離散化するという手法は面白いし、応用範囲も広そうで夢が広がる (広がるのは夢だけです) 。

元の離散化された空間で考えていると、移動できる方向を増やすには ミシュラン パイロットアルペン 265/35-19 2本、反復の際に考慮する格子点をどんどん増やすしかない気がしてくるのに、一旦連続な空間に持ちこんで再度離散化すると、最近接点だけで任意方向に移動できる場合の最短経路が求まるって 、

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、何だか不思議な気がしませんか。

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Yasuhiro Fujii <y-fujii at mimosa-pudica.net>
{mimosa-pudica.net} {yahoojp}
{yahoojp}jpprem01-zenjp40-wl-zd-44289